Question

9．在一条笔直的公路上有A、B两地，甲从A地去B地，乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速度是原来的2倍，如图是甲、乙两人离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数图象．请根据图象回答下列问题：
（1）A、B两地的距离是90千米，a=2；
（2）求P的坐标，并解释它的实际意义；
（3）请直接写出当x取何值时，甲乙两人相距15千米．

Answer 1

分析 （1）观察函数图象即可得出A、B两地的距离，由乙往返需要3小时结合返回时的速度是原来的2倍，即可求出a值；
（2）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出甲、乙离B地的距离y和时间x之间的函数关系式，令两函数关系式相等即可求出点P的坐标，再解释出它的实际意义即可；
（3）分0≤x＜1.2、1.2≤x＜2和2≤x≤3三段，找出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）观察函数图象可知：A、B两地的距离是90千米，
∵乙从B地去A地然后立即原路返回B地，返回时的速度是原来的2倍，
∴a=3×$\frac{2}{2+1}$=2．
故答案为：90；2．

（2）设甲离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数关系式为y=kx+b，乙离B地的距离y（千米）和时间x（小时）之间的函数关系式为y=mx+n，
将（0，90）、（3，0）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{b=90}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-30}\\{b=90}\end{array}\right.$，
∴甲离B地的距离y和时间x之间的函数关系式为y=-30+90；
将（0，0）、（2，90）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{n=0}\\{2m+n=90}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=45}\\{n=0}\end{array}\right.$，
∴此时y=45x（0≤x≤2）；
将（2，90）、（3，0）代入y=mx+n中，
$\left\{\begin{array}{l}{2m+n=90}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-90}\\{n=270}\end{array}\right.$，
此时y=-90x+270（2≤x≤3）．
∴乙离B地的距离y和时间x之间的函数关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{45x（0≤x≤2）}\\{-90x+270（2≤x≤3）}\end{array}\right.$．
令y=-30+90=45x，解得：x=1.2，
当x=1.2时，y=45x=45×1.2=54，
∴点P的坐标为（1.2，54）．
点P的实际意义是：甲、乙分别从A、B两地出发，经过1.2小时相遇，这时离B地的距离为54千米．

（3）当0≤x＜1.2时，-30x+90-45x=15，
解得：x=1；
当1.2≤x＜2时，45x-（-30x+90）=15，
解得：x=1.4；
当2≤x≤3时，-90x+270-（-30x+90）=15，
解得：x=2.75．
综上所述：当x为1、1.4或2.75时，甲乙两人相距15千米．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）观察函数图象找出A、B两地的距离；（2）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（3）分0≤x＜1.2、1.2≤x＜2和2≤x≤3三段，找出关于x的一元一次方程．