Question

16．请阅读下面解方程（x²+1）²-2（x²+1）-3=0的过程．
解：设x²+1=y，则原方程可变形为y²-2y-3=0．
解得y₁=3，y₂=-1．
当y=3时，x²+1=3，∴x=±$\sqrt{2}$．
当y=-1时，x²+1=-1，x²=-2此方程无实数解．
∴原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$．
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：（$\frac{x}{x-1}$）²-2（$\frac{x}{x-1}$）-15=0．

Answer 1

分析 根据材料的提示，可以利用换元法解答分式方程，注意最后要验根．

解答 解：（$\frac{x}{x-1}$）²-2（$\frac{x}{x-1}$）-15=0，
设$\frac{x}{x-1}$=a，
则a²-2a-15=0，
解得，a=-3或a=5，
当a=-3时，$\frac{x}{x-1}=-3$，解得，x=$\frac{3}{4}$，经检验x=$\frac{3}{4}$是分式方程的解，
当a=5时，$\frac{x}{x-1}=5$，解得x=$\frac{5}{4}$，经检验x=$\frac{5}{4}$是分式方程的解，
∴原分式方程的解是${x}_{1}=\frac{3}{4}$，${x}_{2}=\frac{5}{4}$．

点评 本题考查换元法解一元二次方程、换元法解解分式方程，解题的关键是明确用换元法解方程的方法．