Question

18．如图，已知⊙O为△ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE的延长线上，且GA=GE．
（1）判断AG与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OA，由EF⊥BC得出∠ABO+∠BEF=90°，由等边对等角得出∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE，所以∠BAO+∠GAE=∠ABO+∠BEF=90°，即可证得AG与⊙O相切．
（2）根据勾股定理求得BC=10，然后根据△BEF∽△BCA．对应边成比例求得EF=1.8，BF=2.4，进而求得OF=2.6，应用勾股定理求得即可．

解答 （1）AG与⊙O相切．
证明：如图 连接OA，
∵OA=OB，GA=GE，
∴∠ABO=∠BAO，∠GEA=∠GAE．
∵EF⊥BC，
∴∠BFE=90°．
∴∠ABO+∠BEF=90°．
又∵∠BEF=∠GEA，
∴∠GAE=∠BEF．
∴∠BAO+∠GAE=90°．
∴OA⊥AG，即AG与⊙O相切．
（2）解：∵BC为直径，
∴∠BAC=90°．
∵AC=6，AB=8，
∴BC=10．
∵∠EBF=∠CBA，∠BFE=∠BAC，
∴△BEF∽△BCA．
∴$\frac{BF}{BA}$=$\frac{BE}{BC}$=$\frac{EF}{CA}$．
∴EF=1.8，BF=2.4，
∴OF=OB-BF=5-2.4=2.6．
∴OE=$\sqrt{EF^2+OF^2}$=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．