Question

3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，则AD的长为（　　）

• A． 2.5
• B． 1.6
• C． 1.5
• D． 1

Answer 1

分析 连结OD、OE，如图，先根据切线的性质得OD⊥AC，OE⊥BC，再判断四边形ODCE为正方形得到OD=CD=AC-AD=4-AD，接着证明Rt△AOD∽Rt△ABC，然后利用相似比计算AD的长．

解答 解：连结OD、OE，如图，
∵以点O为圆心所作的半圆分别与AC、BC相切于点D、E，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
而∠ACB=90°，
∴四边形ODCE为矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE为正方形，
∴OD=CD=AC-AD=4-AD，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{OD}{BC}$，即$\frac{AD}{4}$=$\frac{4-AD}{6}$，
∴AD=1.6．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．