Question

11．已知：如图，△ABC内接于⊙O，且半径OC⊥AB，点D在半径OB的延长线上，且∠A=∠BCD=30°，AC=2，则由$\widehat{BC}$，线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积为2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

Answer 1

分析 根据圆周角定理和垂径定理得到∠O=60°，$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，根据等腰三角形的性质得到∠ABC=∠A=30°，得到∠OCB=60°，解直角三角形得到CD=$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，于是得到结论．

解答 解：∵OC⊥AB，∠A=∠BCD=30°，AC=2，
∴∠O=60°，$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC=6，
∴∠ABC=∠A=30°，
∴∠OCB=60°，
∴∠OCD=90°，
∴OC=BC=2，
∴CD=$\sqrt{3}$OC=2$\sqrt{3}$，
∴线段CD和线段BD所围成图形的阴影部分的面积=S_△OCD-S_扇形BOC-$\frac{1}{2}×$2×2$\sqrt{3}$-$\frac{60•π×{2}^{2}}{360}$=2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π，
故答案为：2$\sqrt{3}$-$\frac{2}{3}$π．

点评 本题考查了扇形的面积的计算，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．