Question

如图，点P是等边△ABC内的一点，分别连接PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连接PQ、QC．
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明你的结论；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，试判断△PQC的形状，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质,勾股定理的逆定理

专题：常规题型

分析：（1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；
（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．

解答：解：（1）∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，∴△BPQ为等边三角形，
∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，
∴∠CBQ=∠ABP，
在△ABP和△CBQ中，

AB=CB ∠ABP=∠CBQ BP=BQ

，
∴△ABP≌△CBQ（SAS），
∴AP=CQ，
（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，
PB=PQ=4，PA=QC=3，
∵PQ²+CQ²=PC²，
∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP≌△CBQ是解题的关键．