Question

如图，抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．
（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．
①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
②△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）现有一个以原点O为圆心，

10

4

长为半径的圆沿y轴正半轴方向向上以每秒1个单位的速度运动，问几秒后⊙O与直线AC相切？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）已知了抛物线的解析式，当y=0时可求出A，B两点的坐标，当x=0时，可求出C点的坐标．根据对称轴x=-

b

2a

可得出对称轴的解析式．
（2）①PF的长就是当x=m时，抛物线的值与直线BC所在一次函数的值的差．可先根据B，C的坐标求出BC所在直线的解析式，然后将m分别代入直线BC和抛物线的解析式中，求得出两函数的值的差就是PF的长．根据直线BC的解析式，可得出E点的坐标，根据抛物线的解析式可求出D点的坐标，然后根据坐标系中两点的距离公式，可求出DE的长，然后让PF=DE，即可求出此时m的值．
②可将三角形BCF分成两部分来求：一部分是三角形PFC，以PF为底边，以P的横坐标为高即可得出三角形PFC的面积．一部分是三角形PFB，以PF为底边，以P、B两点的横坐标差的绝对值为高，即可求出三角形PFB的面积．然后根据三角形BCF的面积=三角形PFC的面积+三角形PFB的面积，可求出关于S、m的函数关系式，由此可求出S的最大值；
（3）设⊙O与直线AC相切于点E，连O′E，则O′E⊥AC，得到△ACO∽△O′CE，利用相似三角形的性质列出比例式即可求得x的值．

解答：解：（1）设0=-x²+2x+3，
解得：x=-1或3，
∵抛物线y=-x²+2x+3与x相交于AB（点A点B左侧），
∴A（-1，0），B（3，0），
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴C（0，3），
∴抛物线的对称轴是：直线x=1．  

（2）①设直线BC的函数关系式为y=kx+b，把B（3，0），C（0，3）分别代入，
得

3k+b=0 b=3

，解得：k=-1，b=3
∴直线BC的函数关系式为y=-x+3．
当x=1时，y=-1+3=2，∴E（1.2）．
当x=m时，y=-m+3，∴P（m，-m+3）
在y=-x²+2x+3中，当x=1时，y=4，∴D（1，4）．
当x=m时，y=-m²+2m+3，
∴F（m，-m²+2m+3），
∴线段DE=4-2=2，
线段PF=-m²+2m+3-（-m+3）=-m²+3m，
∵PF∥DE
∴当PF=DE时，四边形PEDF为平行四边形．
由-m²+3m=2，解得m=2或m=1（不合题意，舍去）．
因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），可得OB=OM+MB=3．
∵S=S_△EPF+S_△CPF，
即S=

1

2

PF•BM+

1

2

PF•OM
=

1

2

PF（BM+OM）
=

1

2

PF•OB，
∴S=

1

2

×3（-m²+3m）=-

3

2

m²+

9

2

m（0≤m≤3）
∴当m=-

9 2

2×(- 3 2 )

=

3

2

时
S最大值=

27

8

；

（3）如图，设⊙O与直线AC相切于点E，连O′E，则O′E⊥AC，
∵AO⊥CO，
∴∠O′EC=∠COA=90°
∵∠ACO=∠ECO，
∴△ACO∽△O′CE，
∴

AC

OC

=

OA

OE

，
由（1）得AO=1，CO=3，AC=

10

，
设x秒后⊙0与AC相切，
则OO′=x，CO′=|3-x|，
∴

10

|3-x|

=

1

10 4

，
解得：x=0.5或5.5，
∴0.5或5.5秒后⊙O与直线AC相切．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，根据二次函数得出相关点的坐标和对称轴的解析式是解题的基础，其中用到的知识点有平行四边形的判定和性质、解一元二次方程、用待定系数法确定一次函数的解析式，三角形面积公式的运用．