Question

5．刘卫同学在一次课外活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，见图①、②．图①中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm；图②中，∠D=90°，∠E=45°，DE=4cm．图③是刘卫同学所做的一个实验：他将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上（移动开始时点D与点A重合）．

（1）在△DEF沿AC方向移动的过程中，刘卫同学发现：F、C两点间的距离逐渐变小．
（填“不变”、“变大”或“变小”）
（2）刘卫同学经过进一步地研究，编制了如下问题：
问题①：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，F、C的连线与AB平行？
问题②：当△DEF移动至什么位置，即AD的长为多少时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形？
问题③：在△DEF的移动过程中，S_△ADB+S_△CEB的值是否为一定值？如果是，求出此定值；如果不存在，请说明理由．
请你分别完成上述三个问题的解答过程．

Answer 1

分析 （1）根据题意，观察图形，F、C两点间的距离逐渐变小；
（2）①因为∠B=90°，∠A=30°，BC=6，所以AC=12，又因为∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4，所以DF=4，连接FC，设FC∥AB，则可求证∠FCD=∠A=30°，故AD的长可求；
②设AD=x，则FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，再分情况讨论：FC为斜边；AD为斜边；BC为斜边．综合分析即可求得AD的长；
③连接BD、BE，作BH⊥AC于H，根据正弦的概念求出BH的长，求出△BDE的面积，根据S_△ADB+S_△CEB=△ABC的面积-△BDE的面积计算即可．

解答 解：（1）观察图形可知，F、C两点间的距离逐渐变小，
故答案为：变小；
（2）问题①：∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6，
∴AC=2BC=12，
∵∠FDE=90°，∠DEF=45°，DE=4，
∴DF=4，
如图1，连接FC，当FC∥AB时，
∠FCD=∠A=30°
∴在Rt△FDC中，DC=4$\sqrt{3}$，
∴AD=AC-DC=12-4$\sqrt{3}$，
∴AD=（12-4$\sqrt{3}$）cm时，FC∥AB；
问题②：设AD=x，在Rt△FDC中，FC²=DC²+FD²=（12-x）²+16，
（I）当FC为斜边时，
由AD²+BC²=FC²得，x²+6²=（12-x）²+16，x=$\frac{31}{6}$；
（II）当AD为斜边时，
由FC²+BC²=AD²得，（12-x）²+16+6²=x²，x=$\frac{49}{6}$；
∵DE=4，
∴AD=AC-DE=12-4=8，
∴x=$\frac{49}{6}$＞8（不合题意舍去），
（III）当BC为斜边时，
由AD²+FC²=BC²得，x²+（12-x）²+16=36，
整理得出：x²-12x+62=0，
∴方程无解，
∴由（I）、（II）、（III）得，当x=$\frac{31}{6}$cm时，以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形；
③S_△ADB+S_△CEB=12$\sqrt{3}$cm²．
理由如下：如图2，连接BD、BE，作BH⊥AC于H，
∵∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm，
∴BH=BC•sinC=3$\sqrt{3}$cm，
∴△BDE的面积为：$\frac{1}{2}$×DE×BH=$\frac{1}{2}$×4×3$\sqrt{3}$=6$\sqrt{3}$，
∴S_△ADB+S_△CEB=$\frac{1}{2}$×6×6$\sqrt{3}$-6$\sqrt{3}$=12$\sqrt{3}$cm²．

点评 本题考查的是平移的性质、勾股定理的应用、锐角三角函数的应用，熟记锐角三角函数的定义、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键，解答时，注意勾股定理的应用和正确解出一元二次方程．