Question

10．如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于$\frac{1}{2}BF$长为半径画弧，两弧交于一点P，连
接AP并延长交BC于点E，连接EF． 
（1）四边形ABEF是菱形；（选填矩形、菱形、正方形、无法确定）（直接填写结果）
（2）AE，BF相交于点O，若四边形ABEF的周长为40，BF=10，则AE的长为10$\sqrt{3}$，∠ABC=120°．（直接填写结果）

Answer 1

分析 （1）先证明△AEB≌△AEF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明．
（2）根据菱形的性质首先证明△AOB是含有30°的直角三角形，由此即可解决问题．

解答 解：（1）在△AEB和△AEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AF}\\{∠EAB=∠EAF}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△AEB≌△AEF，
∴∠EAB=∠EAF，
∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，
∴BE=AB=AF．
∵AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形．
故答案为菱形．
（2）∵四边形ABEF是菱形，
∴AE⊥BF，BO=OF=5，∠ABO=∠EBO，
∵AB=10，
∴AB=2BO，∵∠AOB=90°
∴∠BA0=30°，∠ABO=60°，
∴AO=$\sqrt{3}$BO=5$\sqrt{3}$，∠ABC=2∠ABO=120°．
故答案为$10\sqrt{3}$，120．

点评 本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是全等三角形的证明，想到利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．