Question

8．已知x=$\sqrt{c}$-$\sqrt{c-1}$，y=$\sqrt{c+1}$-$\sqrt{c}$，z=$\sqrt{c+2}$-$\sqrt{c+1}$，试比较x，y，z的大小．

Answer 1

分析 作差得到x-y=（2$\sqrt{c}$）-（$\sqrt{c-1}$+$\sqrt{c+1}$），被减数和减数平方，比较它们平方的大小；作差得到y-z=（2$\sqrt{c+1}$）-（$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+2}$），被减数和减数平方，比较它们平方的大小；进一步即可求解．

解答 解：∵x=$\sqrt{c}$-$\sqrt{c-1}$，y=$\sqrt{c+1}$-$\sqrt{c}$，z=$\sqrt{c+2}$-$\sqrt{c+1}$，
∴x-y=（2$\sqrt{c}$）-（$\sqrt{c-1}$+$\sqrt{c+1}$），
（2$\sqrt{c}$）²=4c，
（$\sqrt{c-1}$+$\sqrt{c+1}$）²=2c+2$\sqrt{{c}^{2}-1}$，
4c＞2c+2$\sqrt{{c}^{2}-1}$，
∴x-y＞0，
∴x＞y；
y-z=（2$\sqrt{c+1}$）-（$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+2}$），
（2$\sqrt{c+1}$）²=4（c+1），
（$\sqrt{c}$+$\sqrt{c+2}$）²=2（c+1）+2$\sqrt{c（c+2）}$，
4（c+1）＞2（c+1）+2$\sqrt{c（c+2）}$，
∴y-z＞0，
∴y＞z，
∴x＞y＞z．

点评 此题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．关键是熟悉作差法比较大小的方法．