Question

17．已知抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x²+bx+c在x=1和x=-1时的函数值相等，且x=2时y=1，P（x，y）为抛物线C上任一点，F（0，1）为y轴上一点，PQ与直线y=-1垂直交于点Q
（1）求出抛物线解析式；
（2）求证：PF=PQ；
（3）若直线y=kx+b过点F（0，1）且与抛物线C交于A、B两点，试判断以AB为直径的圆与直线y=-1位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的性质得b=0，然后把x=2，y=1代入求出c即可得到抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²；
（2）设P（t，$\frac{1}{4}$t²），利用两点间的距离公式得到PF²=（$\frac{1}{4}$t²+1）²，PQ²=（$\frac{1}{4}$t²+1）²，从而可判定PF=PQ；
（3）作AC⊥直线y=-1于C，BD⊥直线y=-1于D，过AB的中点M作MN⊥直线y=-1于N，如图，利用（2）的结论得到BD=BF，AC=AF，再证明MN为梯形ABDC的中位线得到MN=$\frac{1}{2}$（BD+AC）=$\frac{1}{2}$（BF+AF）=$\frac{1}{2}$AB，然后根据切线的判定方法可判断以AB为直径的圆与直线y=-1相切．

解答 （1）解：∵当x=1和x=-1时的二次函数的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为y轴，即b=0，
∵x=2时y=1，
∴$\frac{1}{4}$×4+c=1，解得c=0，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{4}$x²；

（2）证明：设P（t，$\frac{1}{4}$t²），
∵PF²=t²+（$\frac{1}{4}$t²-1）²=（$\frac{1}{4}$t²+1）²，
PQ²=（$\frac{1}{4}$t²+1）²，
∴PF=PQ；

（3）解：以AB为直径的圆与直线y=-1相切．
理由如下：
作AC⊥直线y=-1于C，BD⊥直线y=-1于D，过AB的中点M作MN⊥直线y=-1于N，如图，
由（2）的结论得到BD=BF，AC=AF，
∵BD∥MN∥AC，
∴MN为梯形ABDC的中位线，
∴MN=$\frac{1}{2}$（BD+AC）=$\frac{1}{2}$（BF+AF）=$\frac{1}{2}$AB，
即AB的点M到直线y=-1的距离等于$\frac{1}{2}$AB，
∴以AB为直径的圆与直线y=-1相切．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和切线的判定方法；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形的性质．