Question

13．如图，正方形ABCD中，AE=BF．
（1）求证：△BCE≌△CDF；
（2）求证：CE⊥DF；
（3）若CD=4，且DG²+GE²=18，则BE=4-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）由正方形ABCD，得到四条边相等，四个角为直角，利用SAS即可得证；
（2）由（1）△BCE≌△CDF，得到一对角相等，利用同角的余角相等及垂直的定义即可得证；
（3）连接DE，首先证明△DGE是直角三角形，利用勾股定理结合正方形的性质即可求出AE，进一步得出BE．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴DC=BC，∠DCF=∠B=90°，
在△DCF和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠DCF=∠B}\\{BC=DC}\end{array}\right.$，
∴△DCF≌△CBE（SAS）；

（2）∵△DCF≌△CBE，
∴∠CDF=∠ECB，
∵∠ECB+∠GCD=90°，
∴∠CDF+∠GCD=90°，即∠DGC=90°，
则CE⊥DF；

（3）如图，连接DE，
∵△DCF≌△CBE，
∴∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC=90°，
∴∠BCE+∠DFC=90°，
∴∠CGF=90°；
∴∠EGD=90°，
∴△DGE是直角三角形，
∵DE²=DG²+GE²=18，
∵CD=4，
∴AD=CD=4，
∴AE=$\sqrt{D{E}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{18-16}$=$\sqrt{2}$，
∴BE=AB-AE=4-$\sqrt{2}$．
故答案为：（3）4-$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了四边形综合题，涉及到了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．