Question

11．观察下列各式：
（x²-1）÷（x-1）=x+1
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1
（1）则（x⁶-1）÷（x-1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1
（2）则1+x²+x³+x⁴+…+x¹¹=$\frac{{x}^{12}-1}{x-1}$
（3）求：1+2+2²+2³+…+2²⁰¹⁰．

Answer 1

分析 （1）观察各式，可得出规律（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，再将n=6代入即可得出结果；
（2）由（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，可得x^n-1+x^n-2+…+1=（xⁿ-1）÷（x-1），再将n=12代入即可得出结果；
（3）由1+x+x²+x³+…+x^n-1=（xⁿ-1）÷（x-1），从而得出1+2+2²+…+2²⁰¹⁰=（2²⁰¹⁰⁺¹-1）÷（2-1），再进行计算即可．

解答 解：（1）∵（x²-1）÷（x-1）=x+1，
（x³-1）÷（x-1）=x²+x+1，
（x⁴-1）÷（x-1）=x³+x²+x+1，
（x⁵-1）÷（x-1）=x⁴+x³+x²+x+1，
∴（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，
∴（x⁶-1）÷（x-1）=x⁵+x⁴+x³+x²+x+1；

（2）∵（xⁿ-1）÷（x-1）=x^n-1+x^n-2+…+1，
∴x^n-1+x^n-2+…+1=（xⁿ-1）÷（x-1），
∴1+x²+x³+x⁴+…+x¹¹=（x¹²-1）÷（x-1）=$\frac{{x}^{12}-1}{x-1}$；

（3）∵1+x+x²+x³+…+x^n-1=（xⁿ-1）÷（x-1），
∴1+2+2²+…+2²⁰¹⁰=（2²⁰¹⁰⁺¹-1）÷（2-1）=2²⁰¹¹-1．
故答案为x⁵+x⁴+x³+x²+x+1；$\frac{{x}^{12}-1}{x-1}$．

点评 此题主要考查了整式的除法，关键是通过观察找出规律，再根据规律进行计算．