Question

8．如图，有一张边长为6的正方形纸片ABCD，P是AD边上一点（不与点A、D重合），将正方形纸片沿EF折叠，使点B落在点P处，点C落在点G处，PG交DC于H，连接BP．
（1）求证：∠APB=∠BPH；
（2）若P为AD中点，求四边形EFGP的面积；
（3）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？写出你的结论并证明．

Answer 1

分析 （1）欲证明∠APB=∠BPH，只要证明∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，根据EP=EB，推出∠EBP=∠EPB即可证明．
（2）如图1中，作FM⊥AB于M．由△ABP≌△MFE，推出AP=EM=3，想办法求出EB、CF即可解决问题．
（3）△PHD的周长不变为定值12．如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH，分别证明△BPA≌△BPQ和△BHQ≌△BHC即可．

解答 （1）证明：∵PE=BE，
∴∠EBP=∠EPB，
∵∠A=∠ABC=∠EPG=90°，
∴∠APB+∠EBP=90°，∠BPH+∠EPB=90°，
∴∠APB=∠BPH．

（2）解：如图1中，作FM⊥AB于M．

∵∠BEF+∠ABP=90°，∠BEF+∠EFM=90°，
∴∠ABP=∠EFM，
在△ABP和△MFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A∠FME}\\{AB=MF}\\{∠ABP=∠EFM}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△MFE，
∴ME=AP=$\frac{1}{2}$AD=3，
在Rt△AEP中，设AE=x，则EP=BE=6-x，
∴（6-x）²=x²+3²，
∴x=$\frac{9}{4}$，
∴CF=BM-AB-AE-EM=$\frac{3}{4}$，
∴S_{四边形EFGP}=$\frac{1}{2}$×（CF+BE）×BC=$\frac{1}{2}$×（$\frac{3}{4}$+$\frac{15}{4}$）×6=$\frac{27}{2}$．

（3）解：△PHD的周长不变为定值12．
证明：如图2中，作BQ⊥PG于Q，连接BH．

由（1）可知∠APB=∠BPQ，
在△BPA和△BPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠BQP=90°}\\{∠APB=∠BPQ}\\{BP=BP}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BPQ，
∴AP=PQ，AB=BQ，
∵AB=BC，
∴BC=BQ，
∵∠BQH=∠C=90°，BH=BH，
∴△BHQ≌△BHC，
∴CH=QH，
∴△PDH的周长=DP+PH+DH=（DP+AP）+（CH+DH）=AD+CD=12．

点评 本题考查四边形综合题、翻折变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．