Question

11．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥CD，∠DAE=30°，∠DBC=45°，AB=2，求CD．

Answer 1

分析 证明四边形ABCE是矩形，得出CE=AB=2，AE=BC，设DE=x，则CD=x+2，由勾股定理得出AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$x，BC=$\sqrt{3}$x，证出△BCD是等腰直角三角形，得出BC=CD，得出方程，解方程求出DE，即可得出CD．

解答 解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，AE⊥CD，∠ABC=∠BCE=∠AEC=∠AED=90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴CE=AB=2，AE=BC，
设DE=x，则CD=x+2，
∵∠DAE=30°，
∴AE=$\sqrt{3}$DE=$\sqrt{3}$x，
∴BC=$\sqrt{3}$x，
∵∠DBC=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=CD，
即$\sqrt{3}$x=x+2，
解得：x=$\sqrt{3}$+1，
∴CD=$\sqrt{3}$+1+2=$\sqrt{3}$+3．

点评 本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；本题综合性强，有一定难度，由题意得出方程是解决问题的关键．