Question

4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=112°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒4°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为多少？
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）延长NO到D，根据余角的性质得到∠MOB=∠MOC，等量代换得到∠COD=∠AOD，于是得到结论；
（2）分两种情况：ON的反向延长线平分∠AOC或射线ON平分∠AOC，分别根据角平分线的定义以及角的和差关系进行计算即可；
（3）根据∠MON=90°，∠AOC=68°，分别求得∠AOM=90°-∠AON，∠NOC=68°-∠AON，再根据∠AOM-∠NOC=（90°-∠AON）-（68°-∠AON）进行计算，即可得出∠AOM与∠NOC的数量关系．

解答 解：（1）平分，理由：延长NO到D，
∵∠MON=90°∴∠MOD=90°  
∴∠MOB+∠NOB=90°，
∠MOC+∠COD=90°，
∵∠MOB=∠MOC，
∴∠NOB=∠COD，
∵∠NOB=∠AOD，
∴∠COD=∠AOD，
∴直线NO平分∠AOC；

（2）分两种情况：
①如图2，∵∠BOC=112°
∴∠AOC=68°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD=34°，
∴∠BON=34°，∠BOM=56°，
即逆时针旋转的角度为56°，
由题意得，4t=56°
解得t=14（s）；
②如图3，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°，
∴∠AOM=56°，
即逆时针旋转的角度为：180°+56°=236°，
由题意得，4t=236°，
解得t=59（s），
综上所述，t=14s或59s时，直线ON恰好平分锐角∠AOC；
（3）∠AOM-∠NOC=22°，
   理由：∵∠AOM=90°-∠AON∠NOC=68°-∠AON，
∴∠AOM-∠NOC
=（90°-∠AON）-（68°-∠AON）
=22°．

点评 此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．