Question

20．【试题再现】如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线l过点C，过点A、B分别作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E，则DE=AD+BE（不用证明）．
（1）【类比探究】如图2，在△ABC中，AC=BC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，上述结论是否成立？若成立，请说明理由：若不成立，请写出一个你认为正确的结论．
（2）【拓展延伸】①如图3，在△ABC中，AC=nBC，且∠ACB=∠ADC=∠BEC=100°，猜想线段DE、AD、BE之间有什么数量关系？并证明你的猜想．
②若图1的Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=nBC，并将直线l绕点C旋转一定角度后与斜边AB相交，分别过点A、B作直线l的垂线，垂足分别为点D和点E，请在备用图上画出图形，并直接写出线段DE、AD、BE之间满足的一种数量关系（不要求写出证明过程）．

Answer 1

分析 （1）易证△ACD≌△CBE，则有AD=CE，CD=BE，从而可得DE=AD+BE；
（2）①易证△ADC∽△CEB，则有$\frac{AD}{CE}$=$\frac{CD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=n，从而可得CE=$\frac{1}{n}$AD，CD=nBE，即可得到DE=DC+CE=$\frac{1}{n}$AD+nBE；
②同①可得CE=$\frac{1}{n}$AD，CD=nBE．由于直线l在绕着点C旋转过程中，点A到直线l的距离AD与点B到直线l的距离BE大小关系会发生变化，因此需分情况讨论（如图4、图5），然后只需结合图形就可解决问题．

解答 解：（1）【类比探究】猜想DE=AD+BE．
理由：如图2，

∵∠ADC=100°，
∴∠DAC+∠DCA=80°．
∵∠ACB=100°，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DAC=∠ECB．
在△ACD和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADC=∠CEB}\\{∠DAC=∠ECB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD+BE；

（2）【拓展延伸】①猜想：DE=$\frac{1}{n}$AD+nBE．
理由：如图3，

∵∠ADC=100°，
∴∠DAC+∠DCA=80°．
∵∠ACB=100°，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DAC=∠ECB．
∵∠ADC=∠CEB，
∴△ADC∽△CEB，
∴$\frac{AD}{CE}$=$\frac{CD}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=n，
∴CE=$\frac{1}{n}$AD，CD=nBE，
∴DE=DC+CE=$\frac{1}{n}$AD+nBE；
②DE=$\frac{1}{n}$AD-nBE或DE=nBE-$\frac{1}{n}$AD．
提示：同①可得：CE=$\frac{1}{n}$AD，CD=nBE．
如图4，

DE=CE-CD=$\frac{1}{n}$AD-nBE；
如图5，

DE=CD-DE=nBE-$\frac{1}{n}$AD．

点评 本题是一道探究题，用到了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理、平角的定义等知识，考查了探究能力，渗透了分类讨论的思想以及特殊到一般的思想，是一道好题．