如图.在平面直角坐标系中.点A的坐标为.点B在x轴的负半轴上.∠ABO=30°．(1)求过点A.O.B的抛物线的解析式,中抛物线的对称轴上是否存在点C.使AC+OC的值最小?若存在.求出点C的坐标,若不存在.请说明理由,中x轴下方的抛物线上是否存在一点P.过点P作x轴的垂线.交直线AB于点D.线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2:3?若� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．

如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，$\sqrt{3}$），点B在x轴的负半轴上，∠ABO=30°．
（1）求过点A、O、B的抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使AC+OC的值最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中x轴下方的抛物线上是否存在一点P，过点P作x轴的垂线，交直线AB于点D，线段OD把△AOB分成两个三角形．使其中一个三角形面积与四边形BPOD面积比为2：3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）过点A作AF⊥x轴于点F，构建直角△ABF，通过解该直角三角形易得点B的坐标，则该函数图象经过点B和原点，故利用两点式来求函数解析式即可．
（2）过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小．利用相似三角形△BCE∽△BAF的性质来求CE的长度，则易得点C的坐标；
（3）如图2，连结AO，设p（x，y），易求直线AB的解析式．由该解析式可以求得相关线段的长度，结合已知条件中所给图形面积间的比例关系和三角形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得点P的坐标即可．

解答解：（1）过点A作AF⊥x轴于点F，
∵∠ABO=30°，A的坐标为（1，$\sqrt{3}$），
∴BF=3．
∵OF=1，
∴BO=2．
∴B（-2，0）．
设抛物线的解析式为y=ax（x+2），代入点A（1，$\sqrt{3}$），得$a=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}x$；

（2）存在点C．
过点A作AF垂直于x轴于点F，抛物线的对称轴x=-1交x轴于点E．
当点C位于对称轴与线段AB的交点时，AC+OC的值最小．
∵△BCE∽△BAF，
∴$\frac{BE}{BF}=\frac{CE}{AF}$．
∴$CE=\frac{BE•AF}{BF}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴C（-1，$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$）．

（3）存在．
如图2，连结AO，设p（x，y），直线AB为y=kx+b（k≠0），则$\left\{\begin{array}{l}k+b=\sqrt{3}\\-2k+b=0.\end{array}\right.解得\left\{\begin{array}{l}k=\frac{{\sqrt{3}}}{3}\\ b=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\end{array}\right.$，
∴直线AB为$y=\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，S_{四边形BPOD}=S_△BPO+S_△BOD=$\frac{1}{2}$|OB||y_P|+$\frac{1}{2}$|OB||y_D|=|y_P|+|y_D|
=$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．
∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD=$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$×2×|$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$|=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴$\frac{{{S_{△AOD}}}}{{{S_{四BPOD}}}}$=${\frac{{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{\sqrt{3}}}{3}}}{{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}^{\;}}$=$\frac{2}{3}$．
∴x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=1（舍去）．
∴p（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$）．
又∵S_△BOD=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴$\frac{{{S_{△BOD}}}}{{{S_{四BPOD}}}}$=$\frac{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}{{-\frac{{\sqrt{3}}}{3}{x^2}-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}}$=$\frac{2}{3}$．
整理，得
2x²+5x+2=0，
∴x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=-2．
P（-2，0），不符合题意．
∴存在，点P坐标是（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$）．