题目内容
12．
如图，直线l：y=-3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2-2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求a的值，并写出抛物线的表达式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）经直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l′，当直线l′与直线AM′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d1+d2最大时，请直接写出此时AC的值．
分析 （1）先确定出点B的坐标，代入抛物线解析式中求出抛物线解析式；
（2）先求出点A的坐标，表示出M的坐标，利用面积差即可建立函数关系式，即可求出最大面积；
（3）由（2）得出点M'的坐标，判断出当d1+d2取得最大值时，AC取得最小值，即：AC⊥B M′时，AC取得最小值，用最大面积即可求出结论．
解答 解：（1）把x=0代入y=-3x+3得y=3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y=ax2-2ax+a+4，
∴3=a+4，
∴a=-1，
∴y=-x2+2x+3，
（2）令y=0代入得：0=-x2+2x+3，
∴x=-1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y=0代入y=-3x+3，
∴x=1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，-m2+2m+3），
S=S四边形OAMB-S△AOB
=S△OBM+S△OAM-S△AOB
=$\frac{1}{2}$×m×3+$\frac{1}{2}$×1×（-m2+2m+3）-$\frac{1}{2}$×1×3
=-$\frac{1}{2}$m2+$\frac{5}{2}$m
=-$\frac{1}{2}$（m-$\frac{5}{2}$）2+$\frac{25}{8}$
∴当m=$\frac{5}{2}$时，S取得最大值$\frac{25}{8}$；
（3）①由（2）可知：
当m=$\frac{5}{2}$时，y=-（$\frac{5}{2}$）2+2×$\frac{5}{2}$+3=$\frac{7}{4}$，
∴M′的坐标为（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）；
②如图，
过B点作BD
垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，
则BD=d1，M′E=d2，
∵S△ABM′=$\frac{1}{2}$×AC×（d1+d2）
当d1+d2取得最大值时，AC取得最小值，
∴AC⊥B M′时，AC取得最小值．
∵B（0，3）和M′（$\frac{5}{2}$，$\frac{7}{4}$）
∴BM′=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
∵S△ABM′=$\frac{1}{2}$×AC×BM′=$\frac{25}{8}$，
∴AC=$\sqrt{5}$．
点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算，极值的确定，解（1）的关键是用待定系数法求出抛物线解析式，解（2）的关键是求出S与m的函数表达式，解（3）的关键是判断出AC⊥B M′时，AC取得最小值．
全优考典单元检测卷及归类总复习系列答案| A． | 3＞|-3| | B． | -6＞5 | C． | -0.2＞0.02 | D． | -$\frac{1}{5}$＜-$\frac{1}{6}$ |
如图所示，AB是半圆O的直径，∠ABC=90°，点D是半圆O上一动点（不与点A、B重合），且AD∥CO．| A． | 17 | B． | 21 | C． | 23 | D． | 9 |
如图，二次函数y=mx2+（m2-m）x-2m+1的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1．
如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y=x-2交于B，C两点．
如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA，CB，CD，CE四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有3条．