Question

3．如图所示，AB是半圆O的直径，∠ABC=90°，点D是半圆O上一动点（不与点A、B重合），且AD∥CO．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）填空：①当∠BAD=60度时，△OBC和△ABD的面积相等；
②当∠BAD=45度时，四边形OBCD是正方形．

Answer 1

分析 （1）连接OD．只要证明△COD≌△COB，即可推出∠ODC=∠OBC=90°，推出CD是⊙O的切线．
（2））①当∠BAD=60度时，△OBC和△ABD的面积相等；②当∠BAD=45度时，四边形OBCD是正方形．

解答 （1）证明：连接OD．
∵AD∥CO，
∴∠A=∠BOC，∠ADO=∠DOC，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠BOC=∠DOC，
在△COD和△COB中，
$\left\{\begin{array}{l}{OC=OC}\\{∠BOC=∠DOC}\\{OB=OD}\end{array}\right.$，
∴△COD≌△COB，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴CD是⊙O的切线．

（2）①当∠BAD=60度时，△OBC和△ABD的面积相等；
理由此时AD=OB，AB=OC，△OBC≌△DAB，所以面积相等．
②当∠BAD=45度时，四边形OBCD是正方形．
此时∠DOB=90°，∵∠ODC=∠OBC=90°，
∴四边形OBCD是矩形，
∵OB=OD，
∴四边形OBCD是正方形．
故答案分别为60，45．

点评 本题考查切线的性质、切线的判定、全等三角形的判定和性质、正方形的判定等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，属于中考常考题型．