Question

6．如图，在⊙O中，AB为直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上一点，AD的延长线与切线BC交于点C，E是BC的中点，连接DE，BD．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若tanC=$\frac{1}{2}$，DE=x，△ABD的面积为y，试求y与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出BD⊥AC，然后根据直角三角形斜边中线的性质得出DE=BE，根据等边对等角得出∠EBD=∠EDB，然后根据等腰三角形的性质和切线的性质即可证得OD⊥DE，从而证得DE是⊙O的切线；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质得出BC=2x，然后根据已知和勾股定理求得BD，进而求得AD，从而根据三角形面积公式求得y与x之间的函数关系式．

解答 （1）证明：∵AB为直径，
∴BD⊥AC，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵BC为⊙O的切线，
∴∠ABE=90°，
∴∠EBD+∠ABD=90°，
连接OD，
∵OD=OB，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵DE=x，
∴BC=2x，
∵tanC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BD}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴CD=2BD，
∵CD²+BD²=BC²，
∴（2BD）²+BD²=4x²，
∴BD=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x，
∵∠ADB=∠ABC=90°，
∴∠C=∠ABD，
∴tan∠ABD=$\frac{AD}{BD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{\sqrt{5}}{5}$x，
∴y=$\frac{1}{2}$AD•BD=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$x•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x=x²，
即y=x²．

点评 本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，直角三角形斜边中线的性质等，证明某一线段是圆的切线时，一般情况下是连接切点与圆心，通过证明该半径垂直于这一线段来判定切线．