在正方形ABCD中.点P是射线CB上一个动点.连接PA.PD.点M.N分别为BC.AP的中点.连接MN交PD于点Q．(1)如图1.当点P与点B重合时.△QPM的形状是等腰直角三角形,(2)当点P在线段CB的延长线上时.如图2．①依题意补全图2,②判断△QPM的形状并加以证明,(3)点P′于点P关于直线AB对称.且点P′在线段BC上.连接AP′.若点Q恰好在直线AP′上.正� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接PA，PD，点M、N分别为BC、AP的中点，连接MN交PD于点Q．
（1）如图1，当点P与点B重合时，△QPM的形状是等腰直角三角形；
（2）当点P在线段CB的延长线上时，如图2．
①依题意补全图2；
②判断△QPM的形状并加以证明；
（3）点P′于点P关于直线AB对称，且点P′在线段BC上，连接AP′，若点Q恰好在直线AP′上，正方形ABCD的边长为2，请写出求此时BP长的思路（可以不写出计算结果）．

分析（1）连接AC，由正方形的性质得到∠DBC=45°，再求出∠BQM=90°，根据等腰直角三角形的判定即可解答；
（2）①根据题意补充图形即可；
②△QPM的形状是等腰三角形，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，证明△DCP≌△ABE，得到∠DPC=∠E，再证明MN∥AE，得到∠NMP=∠E，通过等量代换得到∠DPC=∠NMP，根据等角对等边得到QM=QP，即可解答．
（3）利用相似三角形的性质定理和判定定理、对称的性质，写出解题思路．

解答解：（1）如图1，连接AC，

∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，∠DBC=45°，
∵点M、N分别为BC、AP的中点，
∴MN∥AC，
∴∠BQM=∠BOC=90°，
∴∠QMB=45°，
∴△QPM是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形．
（2）①如图2，

②△QPM的形状是等腰三角形，
如图3，延长BC至E，使CE=BP，连接AE，

∵PB=CE，
∴PB+BC=CE+BC，即CP=BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=DC，∠ABC=∠DCB=90°，
在△DCP和△ABE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DC=AB}\\{∠DCP=∠ABE}\\{CP=BE}\end{array}\right.$
∴△DCP≌△ABE，
∴∠DPC=∠E，
∵M为BC的中点，
∴MB=MC，
∴MB+BP=MC+CE，即MP=ME，
∴M为PE的中点，
∵N为AP的中点，
∴MN∥AE，
∴∠NMP=∠E，
∴∠DPC=∠NMP，
∴QM=QP，
∴△QPM是等腰三角形．
（3）求解思路如下：
a，由题意画出图形，并延长BC至E，使CE=BP，连接AE，如图4．

b，由（2）可得QM∥AE，可证$\frac{P′Q}{QA}=\frac{P′M}{ME}$．
c，由PP′∥AD，可证△P′PQ∽△ADQ，从而$\frac{P′Q}{QA}=\frac{P′P}{AD}$．
d，可得$\frac{P′M}{ME}=\frac{P′P}{AD}$．
e，由点P′与点P关于直线AB对称，得到BP′=BP=CE，设BP′=BP=CE=x，由AD=BC=2，可分别表示P′M，ME，P′P，可求BP的长．