Question

17．如图，?ABCD，点E是BC边的一点，将边AD延长至点F，使∠AFC=∠DEC，连接CF、DE．
（1）求证：四边形DECF是平行四边形；
（2）若AB=13，DF=14，tanA=$\frac{12}{5}$，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，求出DE∥CF，根据平行四边形的判定得出即可；
（2）过D作DM⊥EC于M，根据勾股定理求出DM和CM，求出DE，即可求出答案．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵∠AFC=∠DEC，
∴∠AFC=∠ADE，
∴DE∥CF，
∵AD∥BC，
∴DF∥CE，
∴四边形DECF是平行四边形；

（2）解：过D作DM⊥EC于M，则∠DMC=∠DME=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=13，∠DCB=∠A，
∵tanA=$\frac{12}{5}$，
∴tan∠DCB=$\frac{12}{5}$=$\frac{DM}{MC}$，
设DM=12xCM=5x，
由勾股定理得：（12x）²+（5x）²=13²，
解得：x=1，
即CM=5，DM=12，
∵CE=14，
∴EM=14-5=9，
在Rt△DME中，由勾股定理得：DE=$\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}}$=15，
∵四边形DECF是平行四边形，
∴CF=DE=15．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，解直角三角形的应用，能灵活运用性质进行推理和计算是解此题的关键．