题目内容
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=-x的图象l是第二、四象限的角平分线．（1）实验与探究：由图观察易知A（-1，3）关于直线l的对称点A′的坐标为（-3，1），请你写出点B（5，3）关于直线l的对称点B′的坐标为（-3，-5）；
（2）归纳与发现：结合图形，自己选点再试一试，通过观察点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（-n，-m）；
（3）运用与拓广：
①已知两点C（6，0），D（2，4），试在直线l上确定一点P，使点P到C，D两点的距离之和最小，在图中画出点P的位置，保留作图痕迹，并求出点P的坐标．
②在①的条件下，试求出PC+PD的最小值．
分析 （1）观察图形得出点B（5，3）关于直线l的对称点B′的坐标即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，写出P（m，n）关于第二、四象限的角平分线l的对称点P′的坐标即可；
（3）①如图，作点C关于直线 l 的对称点C′，连接C′D，交l于点P，连接CP，由作图可知，PC=PC′，进而得到PC+PD=C′D，求出此时P坐标即可；②利用勾股定理求出PC+PD的最小值即可．
解答 解：（1）根据题意得：B′（-3，-5）；
（2）根据题意得：P′（-n，-m）；
故答案为：（1）（-3，-5）；（2）（-n，-m）；
（3）①如图，作点C关于直线 l 的对称点C′，连接C′D，交l于点P，连接CP，
由作图可知，PC=PC′，
∴PC+PD=PC′+PD=C′D，
∴点P为所求，
∵C（6，0），
∴C′（0，-6）．
设直线C′D的解析式为y=kx-6，
∵D（2，4），
∴k=5，
∴直线C′D的解析式为y=5x-6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=5x-6}\\{y=-x}\end{array}\right.$ 得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-1}\end{array}\right.$，
∴P（1，-1）；
②PC+PD=$\sqrt{{2}^{2}+1{0}^{2}}$=2$\sqrt{26}$．
点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：对称的性质，勾股定理，一次函数的性质，弄清题意关于y=-x对称的两点坐标关系是解本题的关键．
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