Question

1．如图，在△ABC中，AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，BE⊥AC，垂足为点E．则以下4个结论：①AB=AC；②∠EBC=$\frac{1}{2}∠BAC$；③AE=CE；④∠EBC=$\frac{1}{2}∠ABC$中正确的有（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①②③④

Answer 1

分析 根据线段的垂直平分线的性质求出AB=AC，进一步求得∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC；根据等角的余角相等即可求出∠EBC=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC；根据勾股定理即可判断③，根据∠BAC≠∠ABC，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，即可判断④．

解答 解：∵AD⊥BC垂足为点D，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，
∴AB=AC，∴①正确；
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠EBC+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，
∴∠EBC=∠DAC，
∴∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∴②正确；
∵AE²=AB²-BE²，CE²=BC²-BE²，AB≠BC，
∴AE≠CE，∴③错误；
∵∠BAC≠∠ABC，∠EBC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∴∠EBC≠$\frac{1}{2}$∠ABC，∴④错误；
∴①②都正确；
故选A．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，等角的余角的性质和勾股定理的应用，关键是熟练地运用定理进行推理，题目比较典型，难度不大．