Question

7．如图，CD为△ABC的中线，且CD⊥AC，O为BC边上一点，以O为圆心，0C为长半径作⊙O，若⊙O与AB恰好相切于点D，则tanB=（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{3}{8}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 连接OD、DE，如图，设⊙O的半径为r，先证明DE∥AC，再利用点D为AB的中点得到点E为BC的中点，接着利用切线的性质得OD⊥AB，然后在Rt△BOD中利用勾股定理计算出BD后根据正切的定义求解．

解答 解：连接OD、DE，如图，设⊙O的半径为r，
∵CE为直径，
∴∠CDE=90°，
∵CD⊥AC，
∴∠ACD=90°，
∵DE∥AC，
∵点D为AB的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
∴点E为BC的中点，
∴BE=CE=2r，
∵AB为切线，
∴OD⊥AB，
在Rt△BOD中，OD=r，OB=BE+OE=3r，
∴BD=$\sqrt{（3r）^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r，
∴tanB=$\frac{OD}{BD}$=$\frac{r}{2\sqrt{2}r}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故选B．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是证明点E为BC的中点．