Question

7．如图，双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）与直线$y=-\frac{1}{2}x+4$相交于A、B两点
（1）当k=6时，求点A、B的坐标
（2）在双曲线$y=\frac{k}{x}$（k＞0）的同一支上有三点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，y₀），请你借助图象，直接写出y₀与$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$的大小关系．

Answer 1

分析 （1）将x=6代入双曲线解析式中，将直线解析式代入双曲线解析式中得到关于x的一元二次方程，解方程即可求出A、B两点的横坐标，将其代入直线解析式中即可得出结论；
（2）根据函数图象，找出线段MN除两端点外的部分与反比例函数图象的上下位置关系，即可得出结论．

解答 解：（1）当k=6时，令$\frac{6}{x}$=-$\frac{1}{2}$x+4，
整理得：x²-8x+12=0，
解得：x=2或x=6．
∴点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（6，1）．
（2）当三点在第一象限时，线段MN除两端点外的部分在反比例函数图象的上方，
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$＞y₀；
当三点在第三象限时，线段MN除两端点外的部分在反比例函数图象的下方，
∴$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$＜y₀．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）将直线解析式代入双曲线解析式中求出A、B点的横坐标；（2）利用函数图象的上下位置关系得出结论．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出交点坐标．