Question

2．如图，已知等边△ABC．
（1）用直尺和圆规作出△ABC的外接圆；
（2）若AB=4$\sqrt{3}$，求△ABC的外接圆半径R．

Answer 1

分析 （1）分别作出AC和BC的垂直平分线，两线的交点就是圆心O的位置，再以CO长为半径画圆即可；
（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，首先根据等腰三角形三线合一的性质计算出∠OCF=30°，再根据勾股定理计算出CO的长度即可．

解答 解：（1）如图所示：⊙O即为所求；


（2）当△ABC是正三角形时，BC的垂直平分线过A点，
连接AO，CO，
∵△ABC是正三角形，AF⊥BC，
∴∠FAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=30°，CF=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵AO=CO，
∴∠ACO=30°，
∴∠OCF=60°-30°=30°，
∴OF=$\frac{1}{2}$OC，
设OC=2x，则OF=x，
x²+（2$\sqrt{3}$）²=（2x）²，
解得：x=2或x=-2（舍），
∴R=2OF=4．

点评 此题主要考查了三角形外接圆以及利用勾股定理，基本作图，关键是掌握如何确定三角形外接圆的圆心：其中两条边的垂直平分线的交点．