Question

7．如图，二次函数y=ax²+2x+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），过点A的直线AD∥BC，交抛物线于另一点D．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求直线AD的解析式及点D的坐标；
（3）在x轴上是否存在一点P，使得以B、C、P为顶点的三角形与△ABD相似？若存在；求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把A（-1，0），C（0，3）代入y=ax²+2x+c即可得到结果；
（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0，则-x²+2x+3=0，得到B（3，0），由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，由于AD∥BC，设直线AD的解析式为y=-x+b，即可得到结论；解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$得D（4，-5）；
（3）①由BC∥AD，得到∠DAB=∠CBA，只要当$\frac{BC}{AD}$=$\frac{PB}{AB}$或$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PB}{AD}$时，△PBC∽△ABD，求出AD=5$\sqrt{2}$，AB=4，BC=3$\sqrt{2}$，代入比例式解得BP的长度，即可得到P（$\frac{3}{5}$，0）或P（-$\frac{9}{2}$，0）．

解答 解：（1）∵次函数y=ax²+2x+c的图象经过点A（-1，0）和点C（0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=a-2+c}\\{3=c}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的表达式为y=-x²+2x+3；

（2）在y=-x²+2x+3中，令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∴B（3，0），
由已知条件得直线BC的解析式为y=-x+3，
∵AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y=-x+b，
∴0=1+b，
∴b=-1，
∴直线AD的解析式为y=-x-1．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}+2x+3}\\{y=-x-1}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-5}\end{array}\right.$，
∴D（4，-5）；

（3）①∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
又∵D（4，-5），
∴∠ABD≠45°，点P在点B得到左侧，
∴只可能△ABD∽△BPC或△ABD∽△BCP，
∴$\frac{BC}{AD}$=$\frac{PB}{AB}$或$\frac{BC}{AB}$=$\frac{PB}{AD}$，
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，3），D（4，-5），
∵AD=5$\sqrt{2}$，AB=4，BC=3$\sqrt{2}$，
即 $\frac{BP}{4}$=$\frac{3\sqrt{2}}{5\sqrt{2}}$或$\frac{3\sqrt{2}}{4}$=$\frac{BP}{5\sqrt{2}}$，
解得BP=$\frac{12}{5}$或BP=$\frac{15}{2}$，
∵3-$\frac{12}{5}$=$\frac{3}{5}$，3-$\frac{15}{2}$=-$\frac{9}{2}$，
∴P（$\frac{3}{5}$，0）或P（-$\frac{9}{2}$，0）．

点评 本题主要考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点的求法，锐角三角函数，最值的求法，相似三角形的判定和性质，解答（3）题时，要分类讨论，以防漏解或错解．