Question

19．阅读材料，大数学家高斯在上学时研究过这样一个问题，1+2+3+…+10=？经过研究这个问题，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+n=$\frac{1}{2}$n（n+1）其中n是正整数，现在我们来研究一个类似的问题：1×2+2×3+…+n（n+1）=？，观察下面三个特殊的等式：
1×2=$\frac{1}{3}$（1×2×3-0×1×2）
2×3=$\frac{1}{3}$（2×3×4-1×2×3）
3×4=$\frac{1}{3}$（3×4×5-2×3×4）
将这三个等式的两边相加，可以得到1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20
读完这段材料请你计算：
（1）1×2+2×3+…+100×101
（2）$\frac{1×2×3+2×3×4+…+2009×2010×2011}{2009×2010×2011}\end{array}$
（3）1×2×3×4+2×3×4×5+…+n（n+1）（n+2）（n+3）

Answer 1

分析 （1）根据三个特殊等式相加的结果，得到规律，进行计算即可求解；
（2）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，代入计算即可得解；
（3）先对特殊等式进行整理，从而找出规律，然后把每一个算式都写成两个算式的运算形式，整理即可得解．

解答 解：（1）∵1×2+2×3+3×4=$\frac{1}{3}$×3×4×5=20，
∴1×2+2×3+…+100×101=$\frac{1}{3}$×100×101×102=343400；

（2）根据（1）的计算方法，1×2×3=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3），
2×3×4=$\frac{1}{4}$（2×3×4×5-1×2×3×4），
…
n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]
∴1×2×3+2×3×4+…+n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$（1×2×3×4-0×1×2×3+2×3×4×5-1×2×3×4+…+n（n+1）（n+2）（n+3）-（n-1）n（n+1）（n+2）]，
=$\frac{1}{4}$n（n+1）（n+2）（n+3）．
∴1×2×3+2×3×4+…+2009×2010×2011=$\frac{1}{4}$×2009×2110×2011×2012，
∴$\frac{1×2×3+2×3×4+…+2009×2010×2011}{2009×2010×2011}\end{array}$
=$\frac{\frac{1}{4}（2009×2010×2011×2012）}{2009×2010×2011}$
=$\frac{1}{4}$×2012
=53；
（3）∵1×2×3×4=$\frac{1}{5}$（1×2×3×4×5-0×1×2×3×4），
2×3×4×5=$\frac{1}{5}$（2×3×4×5×6-1×2×3×4×5），
3×4×5×6=$\frac{1}{5}$（3×4×5×6×7-2×3×4×5×6），
…
n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3）]，
∴1×2×3×4+2×3×4×5+…+n（n+1）（n+2）（n+3）=$\frac{1}{5}$[1×2×3×4×5-0×1×2×3×4+2×3×4×5×6-1×2×3×4×5+3×4×5×6×7-2×3×4×5×6+…+n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）-（n-1）n（n+1）（n+2）（n+3）]，
=$\frac{1}{5}$n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）．

点评 考查了有理数的混合运算，能从材料中获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本能力．要注意：连续的整数相乘的进一步变形，即n（n+1）=$\frac{1}{3}$[n（n+2）-n（n+1）（n-1）]；n（n+1）（n+2）=$\frac{1}{4}$[n（n+1）（n+2）（n+3）-n（n-1）（n+1）（n+2）]．