如图.梯形ABCD中.AB∥CD.点AB=14.AD=4$\sqrt{2}$.CD=7．直线l经过A.D两点.且sin∠DAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动.同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动.过点P作PM垂直于AB.与折线A→D→C相交于点M.当P.Q两� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点AB=14，AD=4$\sqrt{2}$，CD=7．直线l经过A，D两点，且sin∠DAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．动点P在线段AB上从点A出发以每秒2个单位的速度向点B运动，同时动点Q从点B出发以每秒5个单位的速度沿B→C→D的方向向点D运动，过点P作PM垂直于AB，与折线A→D→C相交于点M，当P，Q两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒（t＞0），△MPQ的面积为S．

（1）求腰BC的长；
（2）当Q在BC上运动时，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在某一时刻t，使得△MPQ的面积S是梯形ABCD面积的$\frac{1}{4}$？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）随着P，Q两点的运动，当点M在线段DC上运动时，设PM的延长线与直线l相交于点N，试探究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？

分析（1）过点C作CF⊥AB轴于点F，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5；
（2）分类探讨：①当0＜t≤1时；②当1＜t≤2时；③当2＜t＜$\frac{16}{7}$时；进一步分析得出答案即可；
（3）根据（2）中求出的S表达式与取值范围，逐一讨论计算，最终确定S的最大值；
（4）△QMN为等腰三角形的情形两种：点Q在线段NM的右侧；当Q在MN的左侧时；分类讨论得出答案即可．

解答解：（1）如图1，

过点C作CF⊥AB轴于点F，
∵sin∠DAB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DAB=45°，
∴OA=OD=4，
∴CF=4，BF=AB-CD-OA=3，
由勾股定理得BC=5．

（2）在点P、Q运动的过程中：
①当0＜t≤1时，过点Q作QE⊥AB轴于点E，如图1：
则BE=BQ•cos∠CBF=5t•$\frac{3}{5}$=3t．
∴PE=PB-BE=（14-2t）-3t=14-5t，
S=$\frac{1}{2}$PM•PE=$\frac{1}{2}$×2t×（14-5t）=-5t²+14t；
②当1＜t≤2时，如图2：

过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，
则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，
S=$\frac{1}{2}$PM•PE=$\frac{1}{2}$×2t×（16-7t）=-7t²+16t；
③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，
即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=$\frac{16}{7}$．
当2＜t＜$\frac{16}{7}$时，如图3：

MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，
S=$\frac{1}{2}$PM•MQ=$\frac{1}{2}$×4×（16-7t）=-14t+32．

（3）①当0＜t≤1时，S=-5t²+14t=-5（t-$\frac{7}{5}$）²+$\frac{49}{5}$，
∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=$\frac{7}{5}$，
∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，
∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；
②当1＜t≤2时，S=-7t²+16t=-7（t-$\frac{8}{7}$）²+$\frac{64}{7}$，
∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=$\frac{8}{7}$，
∴当t=$\frac{8}{7}$时，S有最大值，最大值为$\frac{64}{7}$；
③当2＜t＜$\frac{16}{7}$时，S=-14t+32
∵k=-14＜0，
∴S随t的增大而减小．
又∵当t=2时，S=4；
当t=$\frac{16}{7}$时，S=0，
∴0＜S＜4．
综上所述，当t=$\frac{8}{7}$时，S有最大值，最大值为$\frac{64}{7}$．

（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：
①如图4，

点Q在线段NM的右侧，
MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，
由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=$\frac{20}{9}$；

②如图5，

当Q在MN的左侧时，5t-5+（2t-4）-7=（2t-4）+4-4，
解得：t=$\frac{12}{5}$．
故当t=$\frac{20}{9}$或t=$\frac{12}{5}$时，△QMN为等腰三角形．