Question

已知，经过点A（-4，4）的抛物线y=ax²+bx+c与x轴相交于点B（-3，0）及原点O．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点A作AH⊥x轴，垂足为H，平行于y轴的直线交线段AO于点Q，交抛物线于点P，当四边形AHPQ为平行四边形时，求∠AOP的度数；
（3）如图2，若点C在抛物线上，且∠CAO=∠BAO，试探究：在（2）的条件下，是否存在点G，使得△GOP∽△COA？若存在，请求出所有满足条件的点G坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据已知点的坐标利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）设点P坐标为（m，m²+3m），从而得到直线OA的解析式为y=-x，然后表示出点Q的坐标为（m，-m），进而表示出PQ=-m-（m²+3m）=-m²-4m，利用当四边形AHPQ为平行四边形时，PQ=AH=4得到-m²-4m=4，从而求得m的值，进而确定答案；
（3）设AC交y轴于点D，由点A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，从而证得△AOD≌△AOB后表示点D坐标为（0，3），从而确定直线AC解析式，与二次函数联立即可得到点C的坐标，然后根据翻折的性质得到点G的坐标即可；

解答：解：（1）由题意，得

16a-4b+c=4 9a-3b+c=0 c=0

，
解得

a=1 b=3 c=0

．
∴抛物线的解析式为y=x²+3x；

（2）设点P坐标为（m，m²+3m），其中-4＜m＜0
∵点A（-4，4），
∴直线OA的解析式为y=-x，
从而点Q的坐标为（m，-m）
∴PQ=-m-（m²+3m）=-m²-4m，
当四边形AHPQ为平行四边形时，PQ=AH=4，
即-m²-4m=4，解得m=-2（6分）
此时点P坐标为（-2，-2）
∴∠AOP=∠AOH+∠POH=45°+45°=90°．

（3）设AC交y轴于点D，由点A（-4，4）得，∠AOB=∠AOD=45°，
∵∠CAO=∠BAO，AO=AO，
∴△AOD≌△AOB，
∴OD=OB=3，点D坐标为（0，3），
设直线AC解析式为y=px+q，则

-4p+q=4 q=3

解得p=-

1

4

，q=3，∴直线AC解析式为y=-

1

4

x+3
解方程组

y=- 1 4 x+3 y=x2+3x

，得

x1= 3 4 y1= 45 16

，

x2=-4 y2=4

(舍去)，
∴点C坐标为(

3

4

，

45

16

)．
将△AOC沿x轴翻折，得到△A₁OC₁，则A₁（-4，-4），C1(

3

4

，-

45

16

)

∴O，P，A₁都在直线y=x上，取OC₁的中点G，则△GOP∽△C₁OA₁
∴△GOP∽△COA，此时点G坐标为(

3

8

，-

45

32

)（12分）
将△GOP沿直线y=x翻折，可得另一个满足条件的点G′(-

45

32

，

3

8

)
综上所述，点G的坐标为(

3

8

，-

45

32

)或(-

45

32

，

3

8

)．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法．在求有关存在性的问题时要注意分析题意分情况讨论结果．