Question

对于某一个函数，自变量x在规定的范围内，若任意取两个值x₁和x₂，它们的对应函数值分别为y₁和y₂．若x₂＞x₁时，有y₂＞y₁，则称该函数单调递增；若x₂＞x₁时，有y₂＜y₁，则称该函数单调递减．例如二次函数y=x²，在x≥0时，该函数单调递增；在x≤0时，该函数单调递减．
（1）二次函数：y=（x+1）²+2自变量x在哪个范围内，该函数单调递减？答：

 

．
（2）证明：函数：y=x-

1

x

在x＞1的函数范围内，该函数单调递增．
（3）若存在两个关于x的一次函数，分别记为：g=k₁x+b₁和h=k₂x+b₂，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减．记第三个一次函数y=g+h，则比例系数k₁和k₂满足何种条件时，函数y在实数范围内单调递增？

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数的性质,反比例函数的性质

专题：新定义

分析：（1）根据a＞0，二次函数的自变量在对称轴左侧单调递减，可得答案；
（2）根据y随x的增大而增大，可得证明的结论；
（3）根据一次函数的性质，可得答案．

解答：解：（1）y=（x+1）²+2自变量在x≤-1范围内，该函数单调递减；
故答案为：x≤-1；
（2）证明：任取 x₂＞x₁，
则y 2-y1=(x2-

1

x2

)-(x1-

1

x1

)=（x₂-x₁）+（

1

x1

-

1

x2

）
=（x₂-x₁）+（

x2-x1

x2x1

）
因为x₂＞x₁，所以y₂＞y₁
∴y=x-

1

x

在x＞1的函数范围内，该函数单调递增；
（3）、g=k₁x+b₁和h=k₂x+b₂，且函数g在实数范围内单调递增，函数h在实数范围内单调递减，
∴k_1＞0，k₂＜0，
y=g+h
即y=（k₁x+b₁）+（k₂x+b₂）=（k₁+k₂）x+（b₁+b₂）
y=（k₁+k₂）x+（b₁+b₂）单调递增，
∴k₁+k₂＞0，
一次函数y=g+h，则比例系数k₁和k₂满足k₁＞0，k₂＜0，k₁+k₂＞0时，函数y在实数范围内单调递增．

点评：本题考查了二次函数的性质，a＞0时，自变量在对称轴的左侧y随x的增大而减小，自变量在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．