Question

13．在 Rt△ABC中，AC=BC，点D为AB中点．∠GDH=90°，∠GDH绕点D旋转，DG，DH分别与边AC，BC交于E，F两点．下列结论①AE+BF=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AB，②AE²+BF²=EF²，③S_{四边形CEDF}=$\frac{1}{2}$S_△ABC，④△DEF始终为等腰直角三角形．其中正确的是（　　）

• A． ①②④
• B． ①②③
• C． ①③④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 连接CD根据等腰直角三角形的性质就可以得出△ADE≌△CDF，就可以得出AE=CF，进而得出CE=BF，就有AE+BF=AC，由勾股定理就可以求出结论．

解答 解：连接CD，∵AC=BC，点D为AB中点，∠ACB=90°，
∴AD=CD=BD=$\frac{1}{2}$AB．∠A=∠B=∠ACD=∠BCD=45°，∠ADC=∠BDC=90°．
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∵∠EDC+∠FDC=∠GDH=90°，
∴∠ADE=CDF．
在△ADE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠DCB}\\{AD=CD}\\{∠ADE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，DE=DF，S_△ADE=S_△CDF．
∵AC=BC，
∴AC-AE=BC-CF，
∴CE=BF．
∵AC=AE+CE，
∴AC=AE+BF．
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AE+BF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB．
∵DE=DF，∠GDH=90°，
∴△DEF始终为等腰直角三角形．
∵CE²+CF²=EF²，
∴AE²+BF²=EF²．
∵S_{四边形CEDF}=S_△EDC+S_△EDF，
∴S_{四边形CEDF}=S_△EDC+S_△ADE=$\frac{1}{2}$S_△ABC．
∴正确的有①②③④．
故选D．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明△ADE≌△CDF是关键．