Question

10．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，且CD⊥BD，若AD=5，BD=CD+2，则tan∠DBC=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 设CD=x，则BD=x+2，证出AB=AD=5，得出BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x+1，证明△ABE∽△CBD，得出比例式求出BC=10，由勾股定理求出CD，得出BD，再由三角函数定义即可得出结果．

解答 解：作AE⊥BD于E，如图所示：
则∠AEB=90°，
设CD=x，则BD=x+2，
∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD=5，
∴BE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x+1，
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°=∠BEA，
又∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{\frac{1}{2}x+1}{5}=\frac{x+2}{bc}$，
解得：BC=10，
在Rt△BCD中，CD²+BD²=BC²，
即x²+（x+2）²=10²，
解得：x=6，
∴CD=6，BD=8，
∴tan∠DBC=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了梯形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数；证明三角形相似求出BC是解决问题的关键．