Question

15．E为正方形ABCD的边CD上的一点，将△ADE绕A点顺时针旋转90°，得△ABF，G为EF中点．下列结论：
①G在△ABF的外接圆上；
②EC=$\sqrt{2}$BG；
③B、G、D三点在同一条直线上；
④若S_{四边形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，那么E为DC的黄金分割点．
正确的有①②③④（请将正确答案的序号填在横线上）．

Answer 1

分析 如图，取AF的中点P，连接PG，CG，在线段BC上取一点N，使得BF=BN，连接EN、BD．
①正确．只要证明PG=$\frac{1}{2}$AF即可．
②正确．只要证明EN=$\sqrt{2}$EC，EN=2BG即可．
③正确．只要证明EN∥BD，EN∥BG即可．
④正确．设BC=CD=a，DE=b，由S_{四边形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，得S_△BGC+S_△ECG=$\frac{1}{4}$a²，即$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$•（a-b）+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（a+b）•（a-b）=$\frac{1}{4}$a²，即b²+ab-a²=0，
解得b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或b=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$a（舍弃），由此即可解决问题．

解答 解：如图，取AF的中点P，连接PG，CG，在线段BC上取一点N，使得BF=BN，连接EN、BD．

∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ABC=∠ABF=∠DCB=90°，
∵AP=PF，
∴点P是△ABF的外心，
∵AP=PF，FG=GE，
∴PG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$AF，
∴点G在△ABF的外接圆上，故①正确，
∵BF=BN=DE，BC=CD，
∴CN=CE，EN=$\sqrt{2}$EC，
∵FG=GE，FB=BN，
∴EN=2BG，
∴2BG=$\sqrt{2}$EC，
∴EC=$\sqrt{2}$BG，故②正确，
∵CN=CE，∠BCD=90°，
∴∠ENC=∠DBC=45°，
∴NE∥BD，又∵EN∥BG，
∴B、G、D共线，故③正确，
设BC=CD=a，DE=b，
∵S_{四边形BGEC}=$\frac{1}{4}$S_{四边形ABCD}，
∴S_△BGC+S_△ECG=$\frac{1}{4}$a²，
∴$\frac{1}{2}$•a•$\frac{1}{2}$•（a-b）+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$（a+b）•（a-b）=$\frac{1}{4}$a²，
∴b²+ab-a²=0，
解得b=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$a或b=$\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$a（舍弃），
∴DE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$CD，
∴点E是CD的黄金分割点，故④正确．
故答案为①②③④．

点评 本题考查圆综合题、旋转变换、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形的中位线定理、三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形的中位线解决问题，属于中考压轴题．