Question

11．若设分式$\frac{x}{x-1}$的值为y，则有y=$\frac{x}{x-1}$
（1）分别求当x=2及x=$\frac{1}{2}$时，y的值；
（2）当x=a时，y=c；x=b时，y=d，若c+d=1，求证：ab=1；
（3）求代数式$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$+（1-x）（1-y）的值；
（4）设m=$\frac{{y}_{1}{+y}_{2}-2}{2}$，n=$\frac{2}{{x}_{1}{+x}_{2}-2}$，其中y₁、y₂分别是分式$\frac{x}{x-1}$中的x取x₁、x₂（x₂＞x₁＞1）时所对应的值，试判断m、n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别把x=2和x=$\frac{1}{2}$代入y=$\frac{x}{x-1}$中求出对应y的值即可；
（2）根据题意得$\frac{a}{a-1}$+$\frac{b}{b-1}$=1，然后去分母整理即可得到结论；
（3）把y=$\frac{x}{x-1}$代入原式，然后进行分式的混合运算和得到原式的值；
（4）先化简m得m=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，再计算m-n得到m-n=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}$，然后利用x₂＞x₁＞1可判断m-n＞0，从而得到m与n的大小．

解答 （1）解：当x=2时，y=$\frac{2}{2-1}$=2；当x=$\frac{1}{2}$时，y=$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-1}$=-1；
（2）证明：因为当x=a时，y=c；x=b时，y=d，
所以c=$\frac{a}{a-1}$，d=$\frac{b}{b-1}$，
而c+d=1，
所以$\frac{a}{a-1}$+$\frac{b}{b-1}$=1，
即a（b-1）+b（a-1）=（a-1）（b-1），
ab-a+ab-b=ab-a-b+1，
所以ab=1；
（3）解：原式=$\frac{1}{x}$+$\frac{x-1}{x}$+（1-x）（1-$\frac{x}{x-1}$）
=$\frac{1+x-1}{x}$+（1-x）$\frac{x-1-x}{x-1}$
=1+1
=2；
（4）解：m=$\frac{\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}-1}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}-1}-2}{2}$=$\frac{{x}_{1}（{x}_{2}-1）+{x}_{2}（{x}_{1}-1）-2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
m-n=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}-2}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$-$\frac{2}{{x}_{1}+{x}_{2}-2}$
=$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}-2）^{2}-4（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}$
=$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}}{2（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）（{x}_{1}+{x}_{2}-2）}$，
因为x₂＞x₁＞1，
所以x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₁+x₂-2＞0，
而（x₁-x₂）²＞0，
∴m-n＞0，
即m＞n．

点评 本题考查了分式的混合运算：先进行括号内的运算，再进行分式的乘除运算，然后进行分式的加减运算．利用求差法比较大小是解决（4）小题的关键．