Question

6．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8．D、E是边AC、BC边上的动点，D从A出发向C运动，同时E以相同的速度从C出发向B运动，E运动到B停止．F为AB中点．
（1）试探究△DEF的形状，并说明理由．
（2）在运动过程中，四边形CDFE可能成为正方形吗？如能求正方形的边长．
（3）当AD为多少时，△DEC的面积最大？最大面积是多少？

Answer 1

分析 （1）根据F是AB中点，可得AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，即可证明△ADF≌△CEF，于是可得DF=EF，∠AFD=∠CFE，即可求得∠DFE=90°，即可得到结论；
（2）根据三角形中位线定理和等腰直角三角形的性质即可证得；
（3）设AD=x，则CE=x，DC=8-x，根据三角形面积公式得出函数关系式，根据函数的顶点式即可求得．

解答 解：（1）△DEF为等腰直角三角形，
理由：如图连接CF，

∵F是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AF=BF=CF，∠A=∠FCE=45°，
在△ADF和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠A=∠FCE=45°}\\{AD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CEF（SAS）；
∴DF=EF，∠AFD=∠CFE，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFE=90°，即∠DFE=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；
（2）当D、E分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，
∵∠ACB=90°，F为AB中点，
∴DF=DC=AD=$\frac{1}{2}$AC，EF=EC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AC=BC，
∴DC=DF=EF=EC，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形CDFE是正方形，且其边长为4；
（3）设AD=x，则CE=x，DC=8-x，
∵S_△DEC=$\frac{1}{2}$DC•CE=$\frac{1}{2}$（8-x）•x=-$\frac{1}{2}$x²+4x=-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8，
∴当AD为4时，△DEC的面积最大，最大面积是8．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形性质，等腰直角三角形，二次函数的最值以及正方形的判定，本题中求证△ADF≌△CEF是解题的关键．