Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，Rt△OAB的直角边OA在x轴正半轴上，且OA=4，AB=2，将△OAB沿某条直线翻折，使OA与y轴正半轴的OC重合．点B的对应点为点D，连接AD交OB于点E．
（1）求经过O、A、D三点的抛物线的解析式；
（2）若动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO运动，线段AP的垂直平分线交直线AD于点M，交（1）中的抛物线于点N，设线段MN的长为d（d≠0），点P的运动时间为t秒，求d与t之间的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接PM，当t为何值时，直线PM与过D、E、O三点的圆相切，并求出此时切点的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）求出A和D的坐标代入抛物线的解析式y=ax²+bx得出方程组，求出即可；
（2）把A和D的坐标代入直线AD的解析式y=kx+c得出方程组，求出即可，得出M、N的横坐标，代入求出M、N的纵坐标，即可求出d；
（3）分为两种情况：①当Ap＜4时，画出图形，过D作DF⊥OA于F，则CD∥OF，CD=OF=2，求出∠OED=90°，得出OD为经过D、E、O三点的圆的直径，OD的中点O′为圆心．根据勾股定理求出OD=2

5

，tan∠COD=

1

2

，tan∠ODC=2，求出AD=2

5

，AH=pH=

1

2

t，根据勾股定理得出AM=

5

2

t，推出

AP

AO

=

AM

AD

，证△OAD∽△OPM，推出PM∥OD，连接O′G，过G作GK⊥OA于点K，过P作PH⊥OD于点H，得出四边形O′HPG是矩形，起初G（3，1），根据OP+AP=OA，得出

5

2

+t=4，求出t；②当AP＞4时，同法能求出t的值．

解答：（1）解：∵△OAB≌△OCD，
∴OC=OA=4，AB=CD=2，
∴D（2，4），
∵抛物线过A（4，0）和D（2，4），
∴设抛物线的解析式是y=ax²+bx，
代入得：

16a+4b=0 4a+2b=4

，
解得：a=-1，b=4，
∴抛物线的解析式是y=-x²+4x；

（2）解：∵A（4，0）和D（2，4），
∴设直线AD的解析式是y=kx+c
代入得：

4k+c=0 2k+c=4

，
解得：k=-2，c=8，
∴直线AD的解析式是y=-2x+8，
∵直线MN垂直平分AP，
∴MN⊥AP，AH=HP=

1

2

AM=

1

2

×t=

1

2

t，
分为两种情况：①当0＜t＜4时，如图a，
∵OH=4-

1

2

t，
∴H（4-

1

2

t，0），
∴点M、N的横坐标是4-

1

2

t，
∴M的纵坐标是-2（4-

1

2

t）+8=t，
N的纵坐标是-（4-

1

2

t）²+4（4-

1

2

t）=-

1

4

t²+2t，
∴d=（-

1

4

t²+2t）-t=-

1

4

t²+t，
即d=-

1

4

t²+t（0＜t＜4），
②当t＞4时，同法可求d=

1

4

t²-t，

综合上述：d=

- 1 4 t2+t  (0＜t＜4) 1 4 t2-t  (t＞4)

；

（3）解：分为两种情况：①当AP＜4时，如图c，
过D作DF⊥OA于F，则CD∥OF，CD=OF=2，
∵OA=4，
∴OF=AF=2，
∵DF⊥OA，
∴OD=AD，∠ODC=∠DOF=∠DAF，
∵△OAB≌△OCD，
∴∠COD=∠AOB，
∵∠COD+∠AOD=90°，
∴∠OED=∠AOB+∠OAD=90°，
∴OD为经过D、E、O三点的圆的直径，OD的中点O′为圆心．
∵在Rt△OCD中，OD²=CD²+OC²，
∴OD=2

5

，tan∠COD=

1

2

，tan∠ODC=2，
∴tan∠ODC=tan∠DOF=tan∠DAF=2，
∴AD=2

5

，
∵AP=t，
∴AH=PH=

1

2

t，
∴在Rt△AHM中，由勾股定理得：AM=

5

2

t，
∴

AP

AO

=

t

4

，

AM

AD

=

5 2 t

2 5

=

t

4

，
∴

AP

AO

=

AM

AD

，
∵∠OAD=∠PAM，
∴△OAD∽△OPM，
∴∠AOD=∠APM，
∴PM∥OD，
连接O′G，过G作GK⊥OA于点K，过P作PH⊥OD于点H，
∵PM是⊙O′的切线，G为切点，
∴O′G⊥PM，
∴∠O′GP=∠OO′G=90°，
∵PH⊥OD，
∴∠O′BP=∠OHP=90°，
∴四边形O′HPG是矩形，
∴HP=O′G=

5

，PG=O′H，
∵在Rt△OHP中，tan∠HOP=2，
∴OH=

5

2

，OP=

5

2

，
∴O′H=PG=

5

2

，
∵在Rt△GKP中，tan∠GPK=2，
∴GK=1，PK=

1

2

，
∴OK=3，
∴G（3，1），
∵OP+AP=OA，
∴

5

2

+t=4，
∴t=

3

2

，
②当AP＞4时，如图d，
同理可求当t=

13

2

时，切点G（-1，3），
∴当t=

3

2

或

13

2

时，直线PM与过D、E、O三点的圆相切，
切点分别为G（3，1）或（-1，3）．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查了学生综合运用性质进行推理和计算的能力，本题综合性比较强，难度偏大．