Question

如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．
（1）求证：AB=DF；
（2）若AB=6，EC=2，求tan∠EDF的值和AD的．

Answer 1

考点：矩形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据矩形的性质可得BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，根两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AEB，然后利用“角角边”证明△ABE和△DFA全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AB=DF=6，AD=AE=BC，AF=BE，然后求出EF=EC，再根据锐角的正切等于对边比邻边列式计算即可得解；设AD=AE=x，表示出BE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，
∴∠DAF=∠AEB，
∵DF⊥AE，AE=BC，
∴∠AFD=90°，AE=AD，
在△ABE和△DFA中，

∠DAF=∠AEB ∠AFD=∠B=90° AE=AD

，
∴△ABE≌△DFA（AAS），
∴AB=DF；

（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA，
∴AB=DF=6，AD=AE=BC，AF=BE，
∴EF=EC=2，
∴tan∠EDF=

EF

DF

=

2

6

=

1

3

；
设AD=AE=x，则BE=BC-EC=x-2，
在Rt△ABE中，由勾股定理得，（x-2）²+6²=x²，
解得x=10，
即AD=10．

点评：本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数，勾股定理，（1）熟记性质并确定出全等三角形是解题的关键，（2）利用勾股定理列出方程是解题的关键．