Question

9．如图，已知双曲线y=$\frac{2}{x}$与直线y=x相交于A，B两点，点C（2，2），D（-2，-2）在直线y=x上．
（1）若点P（1，m）为双曲线y=$\frac{2}{x}$上一点，求PD-PC的值．
（2）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线y=$\frac{2}{x}$上一动点，请问PD-PC的值是否为定值？请说明理由．
（3）若点P（x，y）（x＞0）为双曲线y=$\frac{2}{x}$上一动点，连接PC交双曲线另一点E，当点P（x，y）使得PD-CE=2PC．求P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把P坐标代入双曲线解析式求出m的值，确定出P的坐标，利用两点间的距离公式求出PD与PC的长，即可求出PD-PC的值；
（2）PD-PC的值为定值，理由为：把P坐标代入双曲线解析式表示出y，利用两点间的距离公式表示出PD与PC，求出之差即可；
（3）由对称性得到P与E关于y=x对称，即PC=CE=$\frac{1}{2}$PE，要使PD-PC=2PC，即PD=3PC，由（2）表示出的PD与PC，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出P坐标．

解答 解：（1）把P（1，m）代入双曲线解析式得：m=2，即P（1，2），
∵C（2，2），D（-2，-2），
∴PD=$\sqrt{（1+2）^{2}+（2+2）^{2}}$=5，PC=$\sqrt{（1-2）^{2}+（2-2）^{2}}$=1，
则PD-PC=5-1=4；
（2）PD-PC的值为定值4，理由为：
把P（x，y）代入双曲线解析式得：y=$\frac{2}{x}$，即P（x，$\frac{2}{x}$），
∵C（2，2），D（-2，-2），x＞0，
∴x+$\frac{2}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{2}{x}}$=2$\sqrt{2}$＞2，
∴PD=$\sqrt{（x+2）^{2}+（\frac{2}{x}+2）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}+4x+\frac{8}{x}+8}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}+4（x+\frac{2}{x}）+4}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}+2）^{2}}$=x+$\frac{2}{x}$+2，
PC=$\sqrt{（x-2）^{2}+（\frac{2}{x}-2）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+\frac{4}{{x}^{2}}-4x-\frac{8}{x}+8}$=$\sqrt{（x+\frac{2}{x}）^{2}-4（x+\frac{2}{x}）+4}$=x+$\frac{2}{x}$-2，
则PD-PC=x+$\frac{2}{x}$+2-x-$\frac{2}{x}$+2=4；
（3）由对称性可得P与E关于y=x对称，即PC=CE=$\frac{1}{2}$PE，
∵P（x，y），∴E（y，x），
把P（x，y）代入反比例解析式得：y=$\frac{2}{x}$，即P（x，$\frac{2}{x}$），E（$\frac{2}{x}$，x），
要使PD-CE=2PC，即PD=3PC，
由（2）得：x+$\frac{2}{x}$+2=3（x+$\frac{2}{x}$-2），
整理得：x²-4x+2=0，
解得：x=$\frac{4±2\sqrt{2}}{2}$=2±$\sqrt{2}$，
当x=2+$\sqrt{2}$时，P坐标为（2+$\sqrt{2}$，2-$\sqrt{2}$）；当x=2-$\sqrt{2}$时，P坐标为（2-$\sqrt{2}$，2+$\sqrt{2}$）．

点评 此题考查了一次函数与反比例函数的交点，熟练掌握两点间的距离公式是解本题的关键．