Question

11．如图，在平面直角坐标系xoy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点E是x轴正半轴上一点，若OC=2，点E的坐标为（4，0），点B的纵坐标为-4，且tan∠OEB=2．
（1）求该一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求△AOD的面积．

Answer 1

分析 （1）过B作BF⊥x轴于F，由B的纵坐标为-4，tan∠OEB=2，求得FE=2，即可求得B（2，-4），根据C（-2，0），B（2，-4）用待定系数法及可求得结论；
（2）求出D点坐标，再解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$，求出A点坐标，根据三角形面积公式即可求得结论．

解答 解（1）过B作BF⊥x轴于F，
∵B的纵坐标为-4，且tan∠OEB=2，
∴FE=2，
∵点E的坐标为（4，0），
∴F（2，0），
∴B（2，-4），
∴m=2×（-4）=-8，反比例函数的解析式为y=-$\frac{8}{x}$，把C（-2，0），
∴B（2，-4）代入y=kx+b得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=-4}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{k=-1}\end{array}\right.$
一次函数函数的解析式为y=-x-2；
（2）y=-x-2，当x=0，解得：y=-2，
∴D（0，-2），解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{8}{x}}\\{y=-x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=-4}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-4}\\{{y}_{2}=2}\end{array}\right.$，
∴A（-4，2），
∴A到x轴的距离是4，
∴△AOD的面积=$\frac{1}{2}$×2×4=4．

点评 此题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．