Question

1．如图，直线OE与直线OF互相垂直，将含30°的三角尺ABC如图摆放，其斜边两端点A、B分别落在OE、OF上，且AB=12cm
（1）若OB=6cm．则C到OE的距离是9cm，C到OF的距离是3$\sqrt{3}$cm．
（2）若点A向右滑动且A点滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；
（3）点C与点O的距离的最大值=12cm．

Answer 1

分析 （1）过点C作CD⊥OF于D，CH⊥OE于H，如图1，利用含30°角的直角三角形的性质解答即可；
（2）设点A向右滑动的距离为x，得点B向上滑动的距离也为x，利用三角函数和勾股定理进行解答；
（3）如图3中，取AB的中点D，连接CD、OD．因为△ABC在旋转过程中，CD=OD=$\frac{1}{2}$AB=6是定值，又因为CO≤CD+OD，所以当C、D、O共线时，CO=CD+OD=12，由此可得CO的最大值为12．

解答 解：解：（1）过点C作CD⊥OF于D，CH⊥OE于H，如图1：

在Rt△AOB中，AB=12，OB=6，
∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，
又∵∠CBA=60°，
∴∠CBD=60°，∠BCD=30°，
在Rt△ACB中，∵AB=12，∠CAB=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=6，
在Rt△CBD中，可得BD=3，CD=3$\sqrt{3}$，
所以点C的坐标为（-3$\sqrt{3}$，9），
∴CH=9cm，CD=3$\sqrt{3}$cm，
∴C到OE的距离是 9cm，C到OF的距离是3$\sqrt{3}$cm；
故答案为9cm，3$\sqrt{3}$cm．

（2）设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：

AO=12×cos∠BAO=12×cos30°=6$\sqrt{3}$．
∴A'O=6$\sqrt{3}$-x，B'O=6+x，A'B'=AB=12
在△A'O B'中，由勾股定理得，
（6$\sqrt{3}$-x）²+（6+x）²=12²，
解得：x=6（$\sqrt{3}$-1）或0（舍弃），
∴滑动的距离为6（$\sqrt{3}$-1）；

（3）如图3中，取AB的中点D，连接CD、OD．

∵△ABC在旋转过程中，CD=OD=$\frac{1}{2}$AB=6是定值，
∵CO≤CD+OD，
∴当C、D、O共线时，CO=CD+OD=12cm，
∴CO的最大值为12cm．
故答案为12cm．

点评 此题考查相似三角形的综合题、直角三角形30度角性质、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用三角形三边关系定理解决最值问题，属于中考压轴题．