Question

16．已知：点P为正方形ABCD内一点，连接PA、PB、PC，若AP²+CP²=2PB²，
求证：A、P、C三点共线．

Answer 1

分析 将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′，根据旋转可得BP=BP′，∠PBP′=90°，从而可得△BPP′是等腰直角三角形，进而可得PP′²=2PB²，然后再由PA²+PC²=2PB²可得PC²+P′C²=PP′²，根据勾股定理逆定理可证明∠P′CP=90°，根据四边形内角和可得∠BP′C+∠BPC=180°，进而可得∠BPC+∠APB=180°，从而可证明A、P、C三点共线．

解答 证明：将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．
∵BP=BP′，∠PBP′=90°，
∴△BPP′是等腰直角三角形，即PP′²=2PB²；
∵PA²+PC²=2PB²=PP′²，
∴PC²+P′C²=PP′²，
∴∠P′CP=90°；
∵∠PBP′=∠PCP′=90°，
在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；
∴∠BPC+∠APB=180°，
∴A、P、C三点共线．

点评 此题主要考查了旋转的性质、正方形的性质以及勾股定理逆定理和勾股定理，关键是正确作出辅助线，证明∠BPC+∠APB=180°．