Question

9．矩形纸片ABCD，AB=7，BC=4，在矩形边上有一点P，且DP=3．将矩形纸片折叠，使点B与点P重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF=4$\sqrt{2}$或$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．

Answer 1

分析 如图1，当点P在CD上时，由折叠的性质得到四边形PFBE是正方形，EF过点C，根据勾股定理即可得到结果；如图2当点P在AD上时，过E作EQ⊥AB于Q，根据勾股定理得到PB的长，推出△ABP∽△EFQ，列比例式即可得到结果．

解答 解：如图1，当点P在CD上时，
∵PD=3，CD=AB=7，
∴CP=4，
∵EF垂直平分PB，
∴四边形PFBE是正方形，EF过点C，
∴EF=4$\sqrt{2}$；
如图2，当点P在AD上时，
过E作EQ⊥AB于Q，
∵PD=3，AD=4，
∴AP=1，
∴PB=$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵EF垂直平分PB，
∴∠1=∠2，
∵∠A=∠EQF，
∴△ABP∽△EFQ，
∴$\frac{EF}{PB}$=$\frac{EQ}{AB}$，即$\frac{EF}{5\sqrt{2}}$=$\frac{4}{7}$
解得EF=$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．
综上所述：EF长为4$\sqrt{2}$或$\frac{20\sqrt{2}}{7}$．

点评 本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．