Question

15．已知关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0．
（1）求证：方程总有实数根；
（2）若方程有两个实数根且都是整数，求负整数k的值．

Answer 1

分析 （1）分别讨论k+1=0时和k+1≠0时根的情况，当k≠-1时，根据根的判别式△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=k²+6k+9=（k+3）²≥0判断方程总有实数根；
（2）方程有两个实数根且都是整数可得方程两个之和也是整数，据此求出k的值．

解答 （1）证明：当k=-1时，方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0是一元一次方程，方程有一根，
当k+1≠0时，
∵关于x的方程（k+1）x²+（3k-1）x+2k-2=0，
∴△=（3k-1）²-4（k+1）（2k-2）=k²+6k+9=（k+3）²≥0，
∴△≥0，
∴方程总有实数根；
（2）解：∵方程有两个实数根且都是整数，
∴方程两个之和也是整数，
∴$\frac{1-3k}{k+1}$=$\frac{-3k-3+4}{k+1}$=-3+$\frac{4}{k+1}$是整数，
∵k≠-1，
∴负整数k为-2或-3或-5．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握根的判别式△与一元二次方程系数的关系，此题难度不大．