Question

16．如图，在?ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形．
（2）若四边形ABCD是菱形，那么四边形BEDF也是菱形吗？说明理由．
（3）若四边形ABCD是矩形，试判断四边形BEDF是否为矩形，不必写理由．

Answer 1

分析 （1）连接BD，利用对角线互相平分即可得出结论；
（2）由菱形的对角线互相垂直得出AC⊥BD，即可得出结论；
（3）由矩形的性质得出AC=BD，由EF＜BD即可得出结论．

解答 （1）证明：连接BD，与AC相交于点O．如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AE=CF，
∴EO=FO．
∴四边形BEDF是平行四边形．
（2）解：若四边形ABCD是菱形，那么四边形BEDF也是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥BD，
由（1）得：四边形BEDF是平行四边形，
∴四边形BEDF是菱形；
（3）解：若四边形ABCD是矩形，四边形BEDF不一定是矩形，是平行四边形；理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵EF＜AC，
∴EF＜BD，
∴四边形BEDF还是平行四边形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．