Question

5．如图1，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（-8，0），（-5，0），（0，-8），点P，E分别从点A，B同时出发沿x轴正方向运动，同时点D从点C出发沿y轴正方向运动．以PD，PE为邻边构造平行四边形EPDF，已知点P，D的一点速度均为每秒2个单位，点E的运动速度为每秒1个单位，运动时间为t秒．
（1）当0＜t＜3时，PE=3-t（用含t的代数式表示）；
（2）记平行四边形的面积为S，当S=12时，求t的值；
（3）如图2，当0＜t＜4时，过点P的作抛物线y=ax²+bx+c交x轴于另一点为H（点H在点P的右侧），若PH=6，且该二次函数的最大值不变均为$\frac{9}{4}$．
①当t=2时，试判断点F是否恰好落在抛物线y=ax²+bx+c上？并说明理由；
②若点D关于直线EF的对称点Q恰好落在抛物线y=ax²+bx+c，请直接写出t的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意，求出OP及OE的长度，即可求得PE的长度；
（2）根据平行四边形的面积=底×高，以PE为底，OD为高，即可解答；
（3）根据点P的坐标，PH=6，求出点H的坐标，然后求出抛物线的顶点坐标，用含t的式子表示出函数的解析式；
①求出当t=2时，点B，E，D，F的坐标，将点F的横坐标代入解析式，看求出的y的值是否与点F的纵坐标相等，即可判断；
②根据对称，求出点Q的坐标，将点Q的坐标代入抛物线，即可求出t的值．

解答 解：（1）根据题意，得：OP=8-2t，OE=5-t，
∴PE=OP-OE=（8-2t）-（5-t）=3-t；
故答案为：3-t；
（2）当0＜t＜3时，
根据题意，得：OD=8-2t，
∴S=（3-t）（8-2t）=2t²-14t+24，
当S=12时，2t²-14t+24=12，解得：t₁=1，t₂=6；
当t=3时，点P与点E重合，不能围成平行四边形；
当t＞3时，根据题意，得：PE=5-t-8+2t=t-3，OD=8-2t，
∴S=（t-3）（8-2t）=-2t²+14t-24，
当S=12时，-2t²+14t-24=12，解得：t₁=-2（不合题意，舍去），t₂=9，
综上所述，当S=12时，求t的值为1或6或9；
（3）当0＜t＜4时，点P（2t-8，0），
∵PH=6，
∴点H（2t-2，0），
∴抛物线对称轴为：x=$\frac{2t-8+2t-2}{2}=2t-5$，
设抛物线解析式为：$y=a（x-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}$，
根据点P（2t-8，0）在抛物线上，可得：$a（2t-8-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}=0$，解得：a=$-\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为：y=$-\frac{1}{4}（x-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}$；
①当t=2时，PE=3-t=3-2=1，点D的纵坐标为2t-8，即点D（0，-4），
根据四边形PEFD是平行四边形，可得：DF=PE=1，
∴点F（1，-4），
当x=1时，y=$-\frac{1}{4}×（1-4+5）^{2}+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$，
∴点F不在抛物线y=$-\frac{1}{4}（x-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}$上；
②t的值为1或$\frac{35}{9}$．
如图，
作点D关于EF的对称点点Q，连接QG，QF，
∵OP=OD，
∴∠ODP=45°，
∴∠FGD=45°，即△DGF是等腰直角三角形，
易证四边形FDGQ是正方形，
∴点Q（3-t，t-5），
根据点Q在抛物线上，可得：$-\frac{1}{4}（3-t-2t+5）^{2}+\frac{9}{4}=t-5$，
解得：t₁=1，t₂=$\frac{35}{9}$．

点评 本题主要考查二次函数的综合应用，前两个小题比较简单，第三小题，能用含t的式子表示出函数的解析式是解决①②小题的关键；第②小题中，根据点D对称的点Q与点F，G正好围成一个正方形，是解决第②小题的一个突破点．