Question

14．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=15，AC平分∠BAD，AC与BD交于点O，将△ABD绕点D顺时针方向旋转，得到△EFD，旋转角为α（0°＜α＜180°）点A的对应点为点E，点B的对应点为点F

（1）求证：四边形形ABCD是菱形
（2）若∠BAD=30°，DE边为与AB边相交于点M，当点F恰好落在AC上时，求证：MD=ME
（3）若△ABD的周长是48，EF边与BC边交于点N，DF边与BC边交于点P，在旋转的过程中，当△FNP是直角三角形是，△FNP的面积是$\frac{216}{25}$．

Answer 1

分析 （1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）如图1中，连接AE．只要证明△ADE是等边三角形，利用等腰三角形的三线合一的性质即可证明；
（3）如图2中，作EH⊥DF．当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，想办法求出PN、PF即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠DAC=∠ACD，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是菱形．

（2）证明：如图1中，连接AE．

∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，BO=OD，AC⊥BD，
∴∠FOD=90°，
∵△ABD旋转得到△EFD，
∴∠BDF=∠ADE，AD=DE，BD=DF，
∵点F恰好在AC上，
∴DF=2OD，
在Rt△FOD中，cos∠ODF=$\frac{OD}{OF}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠ADE=∠BDF=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠EAD=60°，
∵∠MAD=30°，
∴∠EAM=∠EAD-∠MAD=30°，
∴∠EAM=∠MAD，
∴DM=EM．

（3）解：如图2中，作EH⊥DF．

∵AB=AD=15，△ABD的周长为48，
∴BD=48-15-15=18，
当DF⊥BC时，△PNF是直角三角形，
在Rt△COB中，OC=$\sqrt{1{5}^{2}-{9}^{2}}$=12，
∵$\frac{1}{2}$•BD•OC=$\frac{1}{2}$•BC•DP，
∴DP=$\frac{72}{5}$，
∵DF=BD=18，
∴PF=18-$\frac{72}{5}$=$\frac{18}{5}$，
∵PN∥EH，
∴$\frac{PN}{EH}$=$\frac{PF}{FH}$，
∴$\frac{PN}{12}$=$\frac{\frac{18}{5}}{9}$，
∴PN=$\frac{24}{5}$，
∴S_△PNF=$\frac{1}{2}$×$\frac{18}{5}$×$\frac{24}{5}$=$\frac{216}{25}$．
故答案为$\frac{216}{25}$．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，综合性比较强，属于中考压轴题．