Question

14．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，过点A作AF∥BC，且AF=$\frac{1}{2}$BC，连接BF、BF，线段BF与AD相交于点E．
（1）求证：E是AD的中点；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）先连接DF，判定四边形ABDF是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出DE=AE即可；
（2）先判定四边形ADCF是平行四边形，再根据直角三角形的性质，得出AD=CD，最后判断四边形ADCF是菱形．

解答 （1）连接DF，
∵AD是BC边上的中线，
∴DB=$\frac{1}{2}$BC，
∵AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DB=AF，
又∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DE=AE
即E是AD的中点；
（2）四边形ADCF是菱形．
∵AD是BC边上的中线，
∴DC=$\frac{1}{2}$BC，
∵AF=$\frac{1}{2}$BC，
∴DC=AF，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，AD是BC边上的中线，
∴AD=$\frac{1}{2}$BC=CD，
∴四边形ADCF是菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定以及直角三角形的性质，解题时注意：一组对边平行且相等的四边形的是平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形的是菱形．